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\begin{document}

\begin{titlepage}

\vspace*{1cm}
	\centering
	
	{\scshape\Large Protokolle Praktikum Physik 3cg \par}
	\vspace{0.5cm}
	{\huge\bfseries die experimentelle Bestimmung der Kapazität eines unbekannten Kondensators\par}
	\vspace{0.5cm}
	{\Large Noah Vogt \& Simon Hammer\par}
	\vspace{17cm}

	{\large Durchgeführt am 27. Oktober 2020\par}
	
\end{titlepage}

\tableofcontents
\pagebreak

\section{Versuchsziel}
Ziel ist es die \textit{Kapazität} $L_f$ eines Kondensators mittels eines \textit{Experiments} so genau wie möglich zu bestimmen, indem ein Kondensator mit bekannter Kapazität genommen wird und mit einer bestimmten Anzahl Volt aufgeladen wird. Durch ein Zusammenschliessen der beiden Kondensatoren wird der zweite auch mitaufgeladen, sodass beide Kondensatoren die gleiche Spannung haben (\textit{Spannungsausgleich}). Nun kann mithilfe einiger Formeln die gesuchte Kapazität des unbekannten Kondensators besimmt werden. Vorausschtlich wird der Messwert unter dem realen Wert liegen aufgrund systematischer Fehler.

\section{Physikalischer Hintergrund}
Die Schmelzwärme ist die Menge an Energie die aufgebracht werden muss, um den Aggregatzustand eines Stoffes von fest zu flüssig oder umgekehrt zu ändern, ohne das sich die Temperatur, bei konstantem Druck, verändert. Sie ist abhängig von der Masse und dem Stoff an sich. Die zur Schmelzwärme gehörende Konstante ist die \textit{spezifische Schmelzwärme}, welche sich auf die Masse bezieht und die Einheit $\si{\J\per\kg}$ hat. Nach diesem Modell lautet nun die Formel für die Schmelzwärme.
$$ Q_{schmelz}= m \cdot L_f$$
Bei einem \textit{kalorimetrischen Experiment} wird von einem idealisierten abgeschlossenen System ausgegangen. Es wird angenommen, dass die vom Wasser abgegebene Wärme der vom Eis aufgenommenen Wärme entspricht. Es gilt also
$$ Q_{Auf}=Q_{Ab}$$
Das Eis wird zwei physikalisch wichtige Prozesse durchgehen. Es wird angenommen, dass das Eis anfangs eine Temperatur von $\SI{0}{\celsius}$ hat. Zuerst wird das Eis geschmolzen und dann erwärmt. Daraus folgt, dass die Schmelzwärme zur Wärmemenge addiert werden muss, um die Menge an Wärmeenergie zu erhalten, welche gebraucht wird um das Eis zu schmelzen und auf eine bestimmte Temperatur zu erwärmen. (Zur Vereinfachung werden die Schmelz-wärme $Q_{1}$, die benötigte Wärme um das geschmolzene Eis zu erwärmen $Q_{2}$, und die abgegebene Wärme des heissen Wasser $Q_{3}$ benannt). Die Formel lautet somit
$$ Q_{1} + Q_{2} = Q_{3} $$
Die Formel für FORMEL wird aus der Formelsammlung entnommen. Schlussendlich lautet die Formel:
$$ Q_{1} + Q_{2} = Q_{3} \Rightarrow m_{\rm{Eis}} \cdot L_f + m_{\rm{Eis}} \cdot c_{\rm{H_2O}} \cdot \Delta\vartheta_1 = m_{\rm{H_2o}} \cdot c_{\rm{H_2o}} \cdot \Delta\vartheta_2$$ $$ \Rightarrow L_f = \frac{m_{\rm{H2O}} \cdot c_{\rm{H_2o}} \cdot \Delta\vartheta_2 - m_{\rm{Eis}} \cdot c_{\rm{H_2O}} \cdot \Delta\vartheta_1}{m_{\rm{Eis}}}$$

NEUE ERKLÄRUNG DER FORMELN HIER

$$\frac{Q_1}{C_u} = \frac{Q_2}{C_b} = u'\quad \Rightarrow \quad Q_2 = u' \cdot C_b$$

$$Q_{Total} = C_b \cdot u$$

$$Q_{Total} = Q_1+Q_2 \quad \Rightarrow \quad Q_1=Q_{Total}-Q_2$$

$$C_u = \frac{Q_1}{u'} = \frac{Q_{Total}-Q_2}{u'} = \frac{C_b \cdot u - u' \cdot C_b}{u'}$$

\section{Versuchsaufbau}
\begin{figure}[H]

INSERT IMAGE HERE

\end{figure}

\section{Versuchsdurchführung}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
        \hline
        \textbf{Beschreibung} & \textbf{Abkürzung} & \textbf{Wert} \\
        \hline
        Kapazität bekannter Kondensator & $C_{b}$ & $(4.38\pm 0.005 )\mu F$\\
        \hline
        Spannung bekannter Kondensator 1 & $u_{1}$ & $(260\pm 2.5)V$\\
        Spannung bekannter Kondensator 2 & $u_{2}$ & $(300\pm 2.5)V$\\
        Spannung bekannter Kondensator 3 & $u_{3}$ & $(280\pm 2.5)V$\\
        \hline
        Spannung nach dem Ausgleich 1 & $u_{1}'$ & $(178\pm 2.5)V$\\
        Spannung nach dem Ausgleich 2 & $u_{2}'$ & $(201\pm 2.5)V$\\
        Spannung nach dem Ausgleich 3 & $u_{3}'$ & $(192\pm 2.5)V$\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

INSERT DESCRIPTION HERE\\

Die im letzten Paragraphen genannten Schritte werden mit anderer Ausgangspannung wiederholt durchgeführt.
\section{Versuchsauswertung}

$$C_u = \frac{C_b \cdot u - u' \cdot C_b}{u'}$$

\subsection{Durchführung 1}

$C_{u_{max}} = \displaystyle{\frac{C_{b_{max}}\cdot u_{1_{max}}-u_{1_{min}}'\cdot C_{b_{min}}}{u_{1_{min}}'}}$\\\\

$C_{u_{min}} = \displaystyle{\frac{C_{b_{min}}\cdot u_{1_{min}}-u_{1_{max}}'\cdot C_{b_{max}}}{u_{1_{max}}'}}$\\\\

$\Rightarrow C_{u_1}=\displaystyle{\frac{C_{u_{max}}+C_{u_{min}}}{2}}$

\subsection{Durchführung 2}

$C_{u_{max}} = \displaystyle{\frac{C_{b_{max}}\cdot u_{2_{max}}-u_{2_{min}}'\cdot C_{b_{min}}}{u_{2_{min}}'}}$\\\\

$C_{u_{min}} = \displaystyle{\frac{C_{b_{min}}\cdot u_{2_{min}}-u_{2_{max}}'\cdot C_{b_{max}}}{u_{2_{max}}'}}$\\\\

$\Rightarrow C_{u_2}=\displaystyle{\frac{C_{u_{max}}+C_{u_{min}}}{2}}$

\subsection{Durchführung 2}

$C_{u_{max}} = \displaystyle{\frac{C_{b_{max}}\cdot u_{3_{max}}-u_{3_{min}}'\cdot C_{b_{min}}}{u_{3_{min}}'}}$\\\\

$C_{u_{min}} = \displaystyle{\frac{C_{b_{min}}\cdot u_{3_{min}}-u_{3_{max}}'\cdot C_{b_{max}}}{u_{3_{max}}'}}$\\\\

$\Rightarrow C_{u_3}=\displaystyle{\frac{C_{u_{max}}+C_{u_{min}}}{2}}$

\section{Kommentar / Diskussion}

\subsection{Genauigkeit}
Bei den beiden Versuchsdurchgängen wurden beim ersten Mal eine Abweichung von \textit{13\%} und beim zweiten Mal \textit{37\%} festgestellt.\\

Aufgrund der vielen systematischen Fehler, da nicht in einem abgschlossenen System experimentiert werden konnte, kann die Ungenauigkeit der Messresultate erklärt werden. Der Tabellenwert $\num{3.338 e5}\si{\J\per\kg}$ \cite{formelsammlung} wurde wie erwartet unterschritten, da einige Energie aus unserem System an die Umgebung verloren ging.\\

Es ist noch anzumerken, dass bei der Berechnung keine Fehlerschranke bei der Masse gemacht wurde. Dies ist zu begründen, dass diese Ungenauigkeit im Vergleich zur Temperaturmessung vernachlässigbar ist.

\subsection{Fehlerquellen}

Ein systematisch Fehler bestand darin, dass das Kalorimeter nicht zu 100\% isoliert und durch die Wände konstant Energie an die Umwelt abgegeben wird. Vorallem da das Kalorimeter nach oben offen war, entstanden dabei beträchtlich mehr Wärmeverluste am Wasser an die Umgebung als nur den Wänden.\\

Ein weiterer Fehler bestand darin, dass das Eis nicht vollständig mit dem Papier abgetrocknet werden konnte.\\

Beim der zweiten Versuchsdurchführung ist ein kleiner Fehler unterlaufen: Das Eis ist auf den Tisch gefallen und wurde dann mit dem Händen in das Kalorimeter befördert. Dabei ist ein Teil des Eises geschmolzen, weil Wärmeenergie von den Händen an das Eis abgegeben wurde. Somit ist die höhere Abweichung vom Tabellenwert im Vergleich zum ersten Versuchsdurchlauf begründet.

\end{document}